Question

16．已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a²+b²=c²，求（1+$\frac{c}{a}$）（1+$\frac{c}$）的最小值．

Answer 1

分析 由題意得$（\frac{a}{c}）^{2}$+$（\frac{c}）^{2}$=1，從而令$\frac{a}{c}$=cosa，$\frac{c}$=sina，0＜a＜$\frac{π}{2}$；從而可得（1+$\frac{c}{a}$）（1+$\frac{c}$）=1+$\frac{2}{sin2a}$+$\frac{2\sqrt{1+sin2a}}{sin2a}$，再令1+sin2a=t²，（1＜t≤$\sqrt{2}$）；從而化簡原式=1+$\frac{2}{{t}^{2}-1}$+$\frac{2t}{{t}^{2}-1}$=$\frac{t+1}{t-1}$=1+$\frac{2}{t-1}$；從而求最小值．

解答 解：∵a，b，c是正實(shí)數(shù)且a²+b²=c²，
∴$（\frac{a}{c}）^{2}$+$（\frac{c}）^{2}$=1，
令$\frac{a}{c}$=cosa，$\frac{c}$=sina，0＜a＜$\frac{π}{2}$；
（1+$\frac{c}{a}$）（1+$\frac{c}$）=（1+$\frac{1}{cosa}$）（1+$\frac{1}{sina}$）
=1+$\frac{2}{sin2a}$+$\frac{2（sina+cosx）}{sin2a}$
=1+$\frac{2}{sin2a}$+$\frac{2\sqrt{1+sin2a}}{sin2a}$，
令1+sin2a=t²，（1＜t≤$\sqrt{2}$）；
故原式=1+$\frac{2}{{t}^{2}-1}$+$\frac{2t}{{t}^{2}-1}$
=$\frac{t+1}{t-1}$=1+$\frac{2}{t-1}$；
故當(dāng)t=$\sqrt{2}$時，1+$\frac{2}{t-1}$有最小值為1+$\frac{2}{\sqrt{2}-1}$=3+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用及換元法的應(yīng)用，屬于中檔題．