Question

8．橢圓D：$\frac{{x}^{2}}{50}+\frac{{y}^{2}}{25}=1$與圓M：x²+（y-m）²=9（m∈R），雙曲線G與橢圓D有相同的焦點(diǎn)，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，當(dāng)m=5時(shí)，求雙曲線G的方程．

Answer 1

分析 橢圓D：$\frac{{x}^{2}}{50}+\frac{{y}^{2}}{25}=1$可得焦點(diǎn)（±5，0）．設(shè)雙曲線G的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a，b＞0）．可得雙曲線的漸近線為：y=$±\frac{a}x$．可得a²+b²=25．當(dāng)m=5時(shí)，圓M：x²+（y-m）²=9（m∈R）的方程即為：x²+（y-5）²=9（m∈R），由于雙曲線的兩條漸近線恰好與圓M相切，圓心到漸近線的距離等于半徑3，聯(lián)立解出即可．

解答 解：橢圓D：$\frac{{x}^{2}}{50}+\frac{{y}^{2}}{25}=1$可得焦點(diǎn)（±5，0）．
設(shè)雙曲線G的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a，b＞0）．
可得雙曲線的漸近線為：y=$±\frac{a}x$．
當(dāng)m=5時(shí)，圓M：x²+（y-m）²=9（m∈R）的方程即為：x²+（y-5）²=9（m∈R），
∵雙曲線的兩條漸近線恰好與圓M相切，
∴$\frac{|0-5a|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=3$，化為4a=3b．
又a²+b²=25，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴雙曲線G的方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓相切的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．