Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知c=

3

，C=

π

3

．
（Ⅰ）若2sin2A+sin（A-B）=sinC，求A；
（Ⅱ）求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,二倍角的正弦

專題：綜合題,解三角形

分析：（Ⅰ）利用sinC=sin（A+B），利用兩角和公式化簡整理求得sinBcosA=2sinAcosA，對cosA進(jìn)行分類討論，求得sinA的值，即可求出A；
（Ⅱ）利用余弦定理，結(jié)合基本不等式，即可求△ABC周長的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）sinC+sin（B-A）=sin（A+B）+sin（B-A）=sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA-cosBsinA
=2sinBcosA=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，
∴cosA=0或sinB=2sinA，
當(dāng)cosA=0時，sinA=1，A=

π

2

；
當(dāng)sinB=2sinA時，由正弦定理知b=2a，
cosC=

a2+4a2-3

4a2

=

1

2

，
∴a=1，
∴sinA=

sinC

c

•a=

1

2

，
∵B＞A，
∴A=

π

6

，
綜上，A=

π

2

或A=

π

6

；
（Ⅱ）c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab≥（a+b）²-3•

(a+b)2

4

=

(a+b)2

4

∵c=

3

，
∴（a+b）²≤12，
∴a+b≤2

3

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，
∵a+b＞c，
∴

3

＜a+b≤2

3

，
∴△ABC周長的取值范圍為[2

3

，3

3

]．

點(diǎn)評：本題考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．