Question

1．已知$\overrightarrow{a}$=（-1，2$\sqrt{5}$，2），$\overrightarrow$=（1，0，-2，），$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$，并且實(shí)數(shù)t滿足關(guān)于x的方程x²-2tx+2t²-7t+12=0有實(shí)根，當(dāng)|c|取最小值時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析 實(shí)數(shù)t滿足關(guān)于x的方程x²-2tx+2t²-7t+12=0有實(shí)根，可得△≥0，解得3≤t≤4．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、模的計(jì)算公式可得|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{5（t-1）^{2}+20}$，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵實(shí)數(shù)t滿足關(guān)于x的方程x²-2tx+2t²-7t+12=0有實(shí)根，
∴△=4t²-4（2t²-7t+12）≥0，解得3≤t≤4．
∵$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$=（-1，2$\sqrt{5}$，2）+t（1，0，-2，）=（-1+t，2$\sqrt{5}$，2-2t），
∴|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{（t-1）^{2}+（2\sqrt{5}）^{2}+（2-2t）^{2}}$=$\sqrt{5（t-1）^{2}+20}$≥$2\sqrt{10}$，當(dāng)且僅當(dāng)t=3時(shí)取得最小值，
∴t=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程有實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、向量的線性運(yùn)算、向量模的計(jì)算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．