Question

11．已知函數(shù)f（x）=ax³+3x²-4x （ 其中實(shí)數(shù)a＜0 ）
（1）若y=f（x）在（-∞，1]上為減函數(shù)，在[1，2]上為增函數(shù)，求a的值．
（2）設(shè)g（x）=f （x）-ax²，當(dāng)a=-3時(shí)，判斷函數(shù)y=g （x）在R上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由．
（3）若對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，$\frac{1}{2}$]且x₁＜x₂，都有不等式f（x₂）-f（x₁）＜a （x₂²-x₁²） 成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=3ax²+6x-4，由f′（1）=0，解得a并驗(yàn)證滿足條件．
（2）由題設(shè)可知，當(dāng)a=-3時(shí)，g（x）=-3x³+6x²-4x，g′（x）=-（3x-2）²≤0，對(duì)任意x∈R恒成立，即可得出單調(diào)性．
（3）利用（2）中記號(hào)：g（x）=f（x）-ax²=ax³+（3-a）x²-4x，由于對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，$\frac{1}{2}$]且x₁＜x₂，有f（x₂）-f（x₁）＜a（x²₂-x²₁）恒成立
?對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，$\frac{1}{2}$]且x₁＜x₂，有$f（{x_2}）-ax_2^2＜f（{x_1}）-ax_1^2$恒成立?在[-1，$\frac{1}{2}$]上y=g（x）單調(diào)遞減?g′（x）=3ax²+2（3-a）x-4≤0在[-1，$\frac{1}{2}$]上恒成立．對(duì)a分類(lèi)討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+6x-4，∵f′（1）=0，即3a+6-4=0，解得$a=-\frac{2}{3}$，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證滿足條件．
（2）由題設(shè)可知，當(dāng)a=-3時(shí)，g（x）=-3x³+6x²-4x，g′（x）=-（3x-2）²≤0，對(duì)任意x∈R恒成立，
∴函數(shù)y=g（x）在R上的單調(diào)遞減．
（3）利用（2）中記號(hào)：g（x）=f（x）-ax²=ax³+（3-a）x²-4x，
∵對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，$\frac{1}{2}$]且x₁＜x₂，有f（x₂）-f（x₁）＜a（x²₂-x²₁）恒成立
?對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，$\frac{1}{2}$]且x₁＜x₂，有$f（{x_2}）-ax_2^2＜f（{x_1}）-ax_1^2$恒成立
?在[-1，$\frac{1}{2}$]上y=g（x）單調(diào)遞減?g′（x）=3ax²+2（3-a）x-4≤0在[-1，$\frac{1}{2}$]上恒成立．
∵a＜0，且$g'（x）=3a（x-\frac{2}{3}）（x+\frac{2}{a}）$的圖象是開(kāi)口向下的拋物線．而$\frac{2}{3}$-（$-\frac{2}{a}$）=$\frac{2（a+3）}{3a}$，
可分類(lèi)討論如下：
①當(dāng)a＜-3時(shí)，有$\frac{2}{3}$＞$-\frac{2}{a}$．此時(shí)由y=g′（x）的圖象可知，當(dāng)$\frac{1}{2}$≤$-\frac{2}{a}$時(shí)，有g(shù)′（x）≤0在[-1，$\frac{1}{2}$]上恒成立，
解得-4≤a＜-3．
②當(dāng)a=-3時(shí)，由（2）可知，有g(shù)′（x）≤0在[-1，$\frac{1}{2}$]上恒成立．
③當(dāng)-3＜a＜0時(shí)，有$\frac{1}{2}$＜$\frac{2}{3}$＜$-\frac{2}{a}$．顯然有g(shù)′（x）≤0在[-1，$\frac{1}{2}$]上恒成立．
綜上所述，所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-4，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、二次函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了分類(lèi)討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．