Question

2．設(shè)曲線(xiàn)y=xⁿ⁺¹（n∈N⁺）在點(diǎn)（1，1）處的切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x_n，則log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+log₂₀₁₅x₃+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄的值為（　�。�

• A． -log₂₀₁₅2014
• B． 1
• C． -1+log₂₀₁₅2014
• D． -1

Answer 1

分析 要求log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄，需求x₁•x₂•…•x₂₀₁₄的值，只須求出切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線(xiàn)的斜率．從而問(wèn)題解決．

解答 解：對(duì)y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）求導(dǎo)，得y′=（n+1）xⁿ，
令x=1得在點(diǎn)（1，1）處的切線(xiàn)的斜率k=n+1，在點(diǎn)
（1，1）處的切線(xiàn)方程為y-1=k（x_n-1）=（n+1）（x_n-1），
不妨設(shè)y=0，可得x_n=$\frac{n}{n+1}$，
則x₁•x₂•x₃…•x_n=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$…•$\frac{n}{n+1}$=$\frac{1}{n+1}$，
從而log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄
=log₂₀₁₅（x₁•x₂…x₂₀₁₄）
=log₂₀₁₅$\frac{1}{2015}$=-1．．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線(xiàn)的斜率、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程、數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．