Question

2．已知橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1，圓C：x²+y²=6-a²在第一象限有公共點P，設圓C在點P處的切線斜率為k₁，橢圓M在點P處的切線斜率為k₂，則$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的取值范圍為（　�。�

• A． （1，6）
• B． （1，5）
• C． （3，6）
• D． （3，5）

Answer 1

分析 由題意可知橢圓的焦點在x軸上，則$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{6-{a}^{2}}＜a}\\{\sqrt{6-{a}^{2}}＞1}\end{array}\right.$，求得3＜a²＜5，根據(jù)橢圓及圓的切線方程，求得切線的斜率，即可求得$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=a²，求得$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的取值范圍．

解答 解：設P（x₀，y₀），
由橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1，圓C：x²+y²=6-a²在第一象限有公共點P，
當焦點在x軸時，即a＞1時，
則$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{6-{a}^{2}}＜a}\\{\sqrt{6-{a}^{2}}＞1}\end{array}\right.$，解得：3＜a²＜5，
當焦點在y軸，即0＜a＜1時，顯然圓與橢圓無交點，
圓x²+y²=6-a²在P點的切線方程為x₀x+y₀y=6-a²，則切線斜率k₁=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1在P點的切線方程為$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}+{y}_{0}y=1$，則切線斜率k₂=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}{a}^{2}}$，
則$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=a²，
∴$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的取值范圍（3，5），
故選：D．

點評 本題考查橢圓及圓的切線方程，考查圓與橢圓的交點問題，考查計算能力，屬于難題．