Question

【題目】已知圓，過(guò)原點(diǎn)的直線與其交于不同的兩點(diǎn).

（1）求直線斜率的取值范圍；

（2）求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程；

（3）若直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）；（3）或.

【解析】

試題分析：（1）直線與其交于不同的兩點(diǎn)，，可得，即可求直線斜率的取值范圍；（2）利用，即可求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程；（3）利用直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，分類討論，即可求的取值范圍.

試題解析：（1）由得

直線過(guò)原點(diǎn)，可設(shè)其方程：

∵直線與其將于不同的兩點(diǎn)∴∴

（2）設(shè)點(diǎn)，∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，

而曲線是圓心為，半徑的圓，∴

∴（且）化簡(jiǎn)得①

由得

是不同的兩點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)滿足①

因此點(diǎn)滿足②

這是圓心為，半徑為的一段圓�。ú话�括端點(diǎn)），反之，可驗(yàn)證以方程②的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是曲線上的一個(gè)點(diǎn)，因此②是軌跡的方程.

（3）設(shè)直線過(guò)

設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，則有，解得

直線的斜率為

類似的可得

綜上，若直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，

則的取值范圍是或.