Question

在△AOB的邊OA、OB上分別有一點P、Q，已知OP：PA=1：2，OQ：QB=3：2，連結AQ、BP，設它們交于R點，若

OA

=

a

，

OB

=

b

，設

OR

=λ

a

+μ

b

，試求出λ和μ的值．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：想辦法用

a

，

b

表示

OR

，通過觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)有兩種表示方式，根據(jù)向量的加法：一種是，

OR

=

OA

+

AR

，

AR

和

AQ

共線，所以存在實數(shù)x使

AR

=x

AQ

=x(

3

5

b

-

a

)，帶入并整理得：

OR

=

x

3

a

+(1-x)

b

；一種是

OR

=

OB

+

BR

，同樣的辦法可求得

OR

=(1-y)

a

+

3y

5

b

，這時候可以建立關于x，y的方程組，解出x，y即可求出λ，μ．

解答： 解：∵

AR

和

AQ

共線，∴存在實數(shù)x使

AR

=x

AQ

，同樣，存在實數(shù)y使

BR

=y

BP

；

OR

=

OB

+

BP

=

OB

+x

BP

=

b

+x(

1

3

a

-

b

)=

x

3

a

+(1-x)

b

；

OR

=

OA

+

AR

=

OA

+y

AQ

a

+y(

3

5

b

-

a

)=(1-y)

a

+

3y

5

b

；
∴

x

3

a

+(1-x)

b

=(1-y)

a

+

3y

5

b

；
∵

a

，

b

不共線；
∴

x 3 =1-y 1-x= 3 5 y

，解得x=

1

2

，y=

5

6

；
∴

OR

=

1

6

a

+

1

2

b

；
∴λ=

1

6

，μ=

1

2

．

點評：考查向量的加法運算，共線向量基本定理，共面向量基本定理，用兩種方式表示

OR

是求解本題的關鍵．