Question

2．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）滿足f（0）=0，對于任意x∈R都有f（x）≥x，且f（-$\frac{1}{2}$+x）=f（-$\frac{1}{2}$-x），令g（x）=f（x）-|λx-l|（λ＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由∵f（0）=0可得c=0而函數(shù)對于任意x∈R都有f（-$\frac{1}{2}$+x）=f（-$\frac{1}{2}$-x），可得函數(shù)f（x）的對稱軸從而可得a=b，結(jié)合f（x）≥x，即ax²+（b-1）x≥0對于任意x∈R都成立，可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的圖象可得a＞0，且△=（b-1）²≤0．
（2）由（1）可得g（x）=f（x）-|λx-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+（1-λ）x+1，x≥\frac{1}{λ}\\{x}^{2}+（1+λ）x+1，x＜\frac{1}{λ}\end{array}\right.$根據(jù)函數(shù)g（x）需討論：①當(dāng)x≥$\frac{1}{λ}$時(shí)，函數(shù)g（x）=x²+（1-λ）x+1的對稱軸為x=$\frac{λ-1}{2}$，則要比較對稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的大小，為此產(chǎn)生討論：$\frac{λ-1}{2}$≤$\frac{1}{λ}$，與$\frac{λ-1}{2}$＞$\frac{1}{λ}$分別求單調(diào)區(qū)間；②當(dāng)x＜$\frac{1}{λ}$時(shí)，函數(shù)g（x）=x²+（1+λ）x-1的對稱軸為x=-$\frac{1+λ}{2}$＜$\frac{1}{λ}$，同①的討論思路

解答 （1）解：∵f（0）=0，∴c=0．（1分）
∵對于任意x∈R都有f（-$\frac{1}{2}$+x）=f（-$\frac{1}{2}$-x），
∴函數(shù)f（x）的對稱軸為x=-$\frac{1}{2}$，即-$\frac{2a}$=-$\frac{1}{2}$，得a=b．（2分）
又f（x）≥x，即ax²+（b-1）x≥0對于任意x∈R都成立，
∴a＞0，且△=（b-1）²≤0．
∵（b-1）²≥0，∴b=1，a=1．
∴f（x）=x²+x．（4分）
（2）解：g（x）=f（x）-|λx-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+（1-λ）x+1，x≥\frac{1}{λ}\\{x}^{2}+（1+λ）x+1，x＜\frac{1}{λ}\end{array}\right.$（5分）
①當(dāng)x≥$\frac{1}{λ}$時(shí)，函數(shù)g（x）=x²+（1-λ）x+1的對稱軸為x=$\frac{λ-1}{2}$，
若$\frac{λ-1}{2}$≤$\frac{1}{λ}$，即0＜λ≤2，函數(shù)g（x）在（$\frac{1}{λ}$，+∞）上單調(diào)遞增；（6分）
若$\frac{λ-1}{2}$＞$\frac{1}{λ}$，即λ＞2，函數(shù)g（x）在（$\frac{λ-1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{λ}$，$\frac{λ-1}{2}$）上單調(diào)遞減．
（7分）
②當(dāng)x＜$\frac{1}{λ}$時(shí)，函數(shù)g（x）=x²+（1+λ）x-1的對稱軸為x=-$\frac{1+λ}{2}$＜$\frac{1}{λ}$，
則函數(shù)g（x）在（-$\frac{1+λ}{2}$，$\frac{1}{λ}$）上單調(diào)遞增，在（-∞，-$\frac{1+λ}{2}$）上單調(diào)遞減．（8分）
綜上所述，當(dāng)0＜λ≤2時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（-$\frac{1+λ}{2}$，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-$\frac{1+λ}{2}$）；（10分）
當(dāng)λ＞2時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（-$\frac{1+λ}{2}$，$\frac{1}{λ}$）和（$\frac{λ-1}{2}$，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-$\frac{1+λ}{2}$）和（$\frac{1}{λ}$，$\frac{λ-1}{2}$）．（12分）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．