Question

7．已知數(shù)列{a_n}，a₁=3，a_n+1=-2a_n-3n-1．
（1）求證：數(shù)列{a_n+n}為等比數(shù)列；       
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義進行證明即可，
（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式進行求解，
（3）根據(jù)分組求和法結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的前n項和公式進行計算即可．

解答 解：（1）∵a_n+1=-2a_n-3n-1．
∴n+1+a_n+1=-2a_n-3n-1+n+1═-2a_n-2n=-2（a_n+1）．
則$\frac{{a}_{n+1}+n+1}{{a}_{n}+n}$=-2，
則數(shù)列{a_n+n}為等比數(shù)列，公比q=-2；       
（2）由（1）得數(shù)列{a_n+n}為等比數(shù)列，公比q=-2，首項為a₁+1=3+1=4，
則a_n+n=4•（-2）^n-1，
即a_n=4•（-2）^n-1-n，
則數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=4•（-2）^n-1-n；
（3）數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{4•[1-（-2）^{n}]}{1-（-2）}$-（1+2+…+n）=$\frac{4}{3}$-$\frac{4}{3}$•（-2）ⁿ-$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題主要考查等比數(shù)列的證明以及數(shù)列通項公式以及求和公式的應(yīng)用，利用分組求和法是解決本題的關(guān)鍵．