1.已知橢圓E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)D為橢圓E上任意一點(diǎn).△DF1F2面積最大值為1,橢圓離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)T為直線x=2上任意一點(diǎn),過右焦點(diǎn)F2,作直線TF2的垂線交橢圓E于點(diǎn)P、Q,線段PQ的中點(diǎn)為N,
     證明:O、N、T三點(diǎn)共線(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

分析 (Ⅰ)設(shè)D(m,n),由橢圓的范圍,可得△DF1F2面積最大值為bc=1,再由離心率公式和橢圓的a,b,c的關(guān)系,即可得到a,b,進(jìn)而得到橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)T(2,t),P(x1,y1),Q(x2,y2),中點(diǎn)N(x0,y0),由F2(1,0),設(shè)PQ:x=-ty+1,代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,結(jié)合三點(diǎn)共線的方法:斜率相等,即可得證.

解答 (Ⅰ)解:設(shè)D(m,n),|n|≤b,
則${S}_{△D{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•2c•|n|≤bc=1,
由題意可得e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,即$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
a2-b2=c2,解得a=$\sqrt{2}$,b=1,c=1,
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1;
(Ⅱ)證明:設(shè)T(2,t),P(x1,y1),Q(x2,y2),
中點(diǎn)N(x0,y0),
由F2(1,0),設(shè)PQ:x=-ty+1,
代入橢圓方程,可得(t2+2)y2-2ty-1=0,
即有△=4t2+4(t2+2)>0,y1+y2=$\frac{2t}{2+{t}^{2}}$,y1y2=-$\frac{1}{2+{t}^{2}}$,
于是y0=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{t}{2+{t}^{2}}$,x0=-ty0+1=1-$\frac{{t}^{2}}{2+{t}^{2}}$=$\frac{2}{2+{t}^{2}}$,
即有中點(diǎn)N($\frac{2}{2+{t}^{2}}$,$\frac{t}{2+{t}^{2}}$),由kON=$\frac{t}{2}$=kOT,
則有O,N,T三點(diǎn)共線.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì),主要考查橢圓的離心率和方程的運(yùn)用,注意聯(lián)立直線方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,同時(shí)考查三點(diǎn)共線的方法:斜率相等,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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11.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( 。
A.$\frac{4π}{3}+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$${b_2}+{b_3}+{b_4}+…+{b_n}<\frac{n(n-1)}{4}$B.$\frac{2π}{3}+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
C.$\frac{2π}{3}+\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$D.$\frac{2π}{3}+4\sqrt{3}$

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12.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出結(jié)果為63,則M處的條件為(  )
A.k<64?B.k≥64?C.k<32?D.k≥32?

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9.已知實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{x+y+2≥0}\\{kx-y≥0}\end{array}\right.$,若目標(biāo)函數(shù)z=2x-y僅在點(diǎn)(1,k)處取得最小值,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(2,+∞).

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16.已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t-1}\end{array}\right.$(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2+sinθ}\end{array}\right.$(θ為參數(shù))
(Ⅰ)已知在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(4,$\frac{π}{6}$),判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)Q到直線l的距離的最小值與最大值.

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6.如圖,△ABC為圓的內(nèi)接三角形,AB=AC,BD為圓的弦,且AC∥BD,過A作圓的切線與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,AD與BC交于點(diǎn)E.
(I)求證:四邊形ACBF為平行四邊形;
(Ⅱ)若AF=2$\sqrt{7}$,BD=3求線段BE的長(zhǎng).

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13.已知$\overrightarrow{m}$=($\sqrt{3}$sin(2π-x),cosx),$\overrightarrow{n}$=(sin($\frac{3}{2}$π-x),cos(π+x)),f(x)=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$.
(I)求y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和對(duì)稱中心;
(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c,若有f(B)=$\frac{1}{2}$,b=7,sinA+sinC=$\frac{13\sqrt{3}}{14}$,求△ABC的面積.

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10.設(shè)函數(shù)f(x),g(x)都是[0,1]上的實(shí)值函數(shù),證明:存在x0,y0∈[0,1],使得|x0y0-f(x0)-g(y0)|≥$\frac{1}{4}$.

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11.已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+4,若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,1).

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