分析 (Ⅰ)設(shè)D(m,n),由橢圓的范圍,可得△DF1F2面積最大值為bc=1,再由離心率公式和橢圓的a,b,c的關(guān)系,即可得到a,b,進(jìn)而得到橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)T(2,t),P(x1,y1),Q(x2,y2),中點(diǎn)N(x0,y0),由F2(1,0),設(shè)PQ:x=-ty+1,代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,結(jié)合三點(diǎn)共線的方法:斜率相等,即可得證.
解答 (Ⅰ)解:設(shè)D(m,n),|n|≤b,
則${S}_{△D{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•2c•|n|≤bc=1,
由題意可得e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,即$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
a2-b2=c2,解得a=$\sqrt{2}$,b=1,c=1,
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1;
(Ⅱ)證明:設(shè)T(2,t),P(x1,y1),Q(x2,y2),
中點(diǎn)N(x0,y0),
由F2(1,0),設(shè)PQ:x=-ty+1,
代入橢圓方程,可得(t2+2)y2-2ty-1=0,
即有△=4t2+4(t2+2)>0,y1+y2=$\frac{2t}{2+{t}^{2}}$,y1y2=-$\frac{1}{2+{t}^{2}}$,
于是y0=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{t}{2+{t}^{2}}$,x0=-ty0+1=1-$\frac{{t}^{2}}{2+{t}^{2}}$=$\frac{2}{2+{t}^{2}}$,
即有中點(diǎn)N($\frac{2}{2+{t}^{2}}$,$\frac{t}{2+{t}^{2}}$),由kON=$\frac{t}{2}$=kOT,
則有O,N,T三點(diǎn)共線.
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì),主要考查橢圓的離心率和方程的運(yùn)用,注意聯(lián)立直線方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,同時(shí)考查三點(diǎn)共線的方法:斜率相等,屬于中檔題.
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A. | $\frac{4π}{3}+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$${b_2}+{b_3}+{b_4}+…+{b_n}<\frac{n(n-1)}{4}$ | B. | $\frac{2π}{3}+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$ | ||
C. | $\frac{2π}{3}+\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$ | D. | $\frac{2π}{3}+4\sqrt{3}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | k<64? | B. | k≥64? | C. | k<32? | D. | k≥32? |
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