Question

6．如圖，△ABC為圓的內(nèi)接三角形，AB=AC，BD為圓的弦，且AC∥BD，過A作圓的切線與DB的延長線交于點F，AD與BC交于點E．
（I）求證：四邊形ACBF為平行四邊形；
（Ⅱ）若AF=2$\sqrt{7}$，BD=3求線段BE的長．

Answer 1

分析 （1I）由已知條件推導出∠ABC=∠BAF，從而得到AF∥BC，再由BD∥AC，能夠證明四邊形ACBF為平行四邊形．
（Ⅱ）由已知條件利用切割線定理求出FB=4，由此能夠求出線段BE的長．

解答 （I）證明：∵AF與圓相切于點A，∴∠BAF=∠ACB，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠BAF，
∴AF∥BC，
∵BD∥AC，∴四邊形ACBF為平行四邊形．
（Ⅱ）解：∵AF與圓相切于點A，
∴AF²=FB•（FB+BD），即6²=FB•（FB+5），
解得FB=4，
根據(jù)（1）有AB=AC=FB=4，BC=AF=2$\sqrt{7}$，
設(shè)BE=x，由BD∥AC，得$\frac{AC}{BD}$=$\frac{CE}{AE}$，
∴$\frac{4}{3}=\frac{2\sqrt{7}-x}{x}$，解得x=$\frac{6\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查平行四邊形的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意切割線定理的合理運用．