Question

10．設(shè)函數(shù)f（x），g（x）都是[0，1]上的實(shí)值函數(shù)，證明：存在x₀，y₀∈[0，1]，使得|x₀y₀-f（x₀）-g（y₀）|≥$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 利用反證法進(jìn)行證明，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y，都有|xy-f（x）-g（y）|＜$\frac{1}{4}$．記S（x，y）=xy-f（x）-f（y），則|S（0，0）|＜$\frac{1}{4}$，|S（0，1）|＜$\frac{1}{4}$，|S（1，0）|＜$\frac{1}{4}$，|S（1，1）|＜$\frac{1}{4}$．再證明|S（0，0）|+|S（0，1）|+|S（1，0）|+|S（1，1）|≥|S（0，0）-S（0，1）-S（1，0）+S（1，1）|=1，即可得出結(jié)論．

解答 證明：若對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y，都有|xy-f（x）-g（y）|＜$\frac{1}{4}$．
記S（x，y）=xy-f（x）-f（y），則|S（0，0）|＜$\frac{1}{4}$，|S（0，1）|＜$\frac{1}{4}$，|S（1，0）|＜$\frac{1}{4}$，|S（1，1）|＜$\frac{1}{4}$．
而S（0，0）=-f（0）-g（0），S（0，1）=-f（0）-g（1），S（1，0）=-f（1）-g（0），S（1，1）=1-f（1）-g（1）．
∴|S（0，0）|+|S（0，1）|+|S（1，0）|+|S（1，1）|≥|S（0，0）-S（0，1）-S（1，0）+S（1，1）|=1
這與假設(shè)相矛盾!，
故原命題成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查反證法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．