Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當時，求滿足不等式組的的取值范圍；

（2）當時，不等式恒成立.求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

對函數(shù)求導判斷其單調(diào)區(qū)間,從而可得函數(shù)在上為減函數(shù), 而由零點存在性定理知, 使得,進而解不等式取交集即可;

令，時，成立的一個充分條件是:即,化為，構(gòu)造函數(shù),通過求導判斷其單調(diào)性求最值即可求解.

當時,函數(shù)，

所以，

當時,,所以函數(shù)在上為增函數(shù)，

當時,,所以函數(shù)在上為減函數(shù)，

而

故使得

所以不等式的解集為,

不等式需滿足,

即不等式的解集為，

求交集得的取值范圍為.

令

，

時，成立的一個充分條件是:

即,化為,

令,則,

當時,，即，

當時，

,即，

綜上可知,在上恒成立，

即函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)最大值為，

因為,所以,

當時,因為，所以，

若在上無零點，則在上恒成立,

即函數(shù)在上單調(diào)遞減,

所以，不合題意舍去；

若在(上有零點，設是最小零點，

則在上不合題意舍去，

綜上可知實數(shù)的取值范圍為.