Question

11．給定可導(dǎo)函數(shù)y=f（x），如果存在x₀∈[a，b]，使得f（x₀）=$\frac{{∫}_{a}^f（x）dx}{b-a}$成立，則稱x₀為函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的“平均值點(diǎn)”．
（1）函數(shù)f（x）=x³-3x在區(qū)間[-2，2]上的平均值點(diǎn)為$±\sqrt{3}$，0；
（2）如果函數(shù)g（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+mx在區(qū)間[-1，1]上有兩個(gè)“平均值點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[$-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}$]．

Answer 1

分析 （1）首先由新定義求出f（x₀），然后代入解析式求出x₀；
（2）求出g（x）=$\frac{{∫}_{-1}^{1}g（x）dx}{2}$，然后解使方程g（x）=$\frac{{∫}_{-1}^{1}g（x）dx}{2}$=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+mx有兩個(gè)解的m范圍．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x₀）=$\frac{{∫}_{a}^f（x）dx}{b-a}$=$\frac{{∫}_{-2}^{2}（{x}^{3}-3x）dx}{4}=\frac{1}{4}×（\frac{1}{4}{x}^{4}-\frac{3}{2}{x}^{2}）{|}_{-2}^{2}$=0，
而f（x₀）=0為x₀³-3x₀=0解得x₀=$±\sqrt{3}$，0；
（2）如果函數(shù)g（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+mx在區(qū)間[-1，1]上有兩個(gè)“平均值點(diǎn)”，即g（x）=$\frac{{∫}_{-1}^{1}g（x）dx}{2}$的x值有兩個(gè)，$\frac{{∫}_{-1}^{1}（\sqrt{1-{x}^{2}}+mx）dx}{2}$=$\frac{1}{2}×（\frac{π}{2}+\frac{m}{2}{x}^{2}{|}_{-1}^{1}$=$\frac{π}{4}$，
即$\sqrt{1-{x}^{2}}$+mx=$\frac{π}{4}$由兩個(gè)解，所以m的取值范圍為[$-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}$]．
故答案為：$±\sqrt{3}$，0；[$-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，主要考查定積分的運(yùn)算和由方程解的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，屬于中檔題