Question

1．已知橢圓C₁：$\frac{y^2}{a^2}$+$\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，且經(jīng)過點(diǎn)（1，$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$），拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F與橢圓C₁的一個焦點(diǎn)重合．
（Ⅰ）過F的直線與拋物線C₂交于M，N兩點(diǎn)，過M，N分別作拋物線C₂的切線l₁，l₂，求直線l₁，l₂的交點(diǎn)Q的軌跡方程；
（Ⅱ）從圓O：x²+y²=5上任意一點(diǎn)P作橢圓C₁的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，證明：∠APB為定值，并求出這個定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，以及$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，設(shè)橢圓方程為$\frac{y^2}{{3{c^2}}}+\frac{x^2}{{2{c^2}}}=1$，將點(diǎn)$（1，\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$的坐標(biāo)代入得c，然后求解橢圓方程，求出拋物線方程，設(shè)直線MN：y=kx+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），代入拋物線方程得x²-4kx-4=0，利用韋達(dá)定理結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解直線的斜率，直線方程，求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是$\frac{1}{2}（{x_1}+{x_2}）$，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，然后求解點(diǎn)Q的軌跡方程．
（Ⅱ）①當(dāng)兩切線的之一的斜率不存在時，根據(jù)對稱性，設(shè)點(diǎn)P在第一象限，求解∠APB的大小為定值．
②當(dāng)兩條切線的斜率都存在時，即$x≠±\sqrt{2}$時，設(shè)P（x₀，y₀），切線的斜率為k，則切線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用△=0，切線PA，PB的斜率k₁，k₂是上述方程的兩個實(shí)根，通過${k_1}{k_2}=-\frac{y_0^2-3}{2-x_0^2}$，求解∠APB的大小為定值$\frac{π}{2}$．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，則$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，即$a=\sqrt{3}c$，則$b=\sqrt{2}c$，
橢圓方程為$\frac{y^2}{{3{c^2}}}+\frac{x^2}{{2{c^2}}}=1$，將點(diǎn)$（1，\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$的坐標(biāo)代入得c²=1，
故所求的橢圓方程為$\frac{y^2}{3}+\frac{x^2}{2}=1$焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±1），
故拋物線方程為x²=4y…（2分）
設(shè)直線MN：y=kx+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），代入拋物線方程得x²-4kx-4=0，
則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，由于$y=\frac{1}{4}{x^2}$，所以$y'=\frac{1}{2}x$，故直線l₁的斜率為$\frac{1}{2}{x_1}$，l₁的方程為$y-\frac{1}{4}x_1^2=\frac{1}{2}{x_1}（x-{x_1}）$，即$y=\frac{1}{2}{x_1}x-\frac{1}{4}x_1^2$，
同理l₂的方程為$y=\frac{1}{2}{x_2}x-\frac{1}{4}x_2^2$，
令$\frac{1}{2}{x_1}x-\frac{1}{4}x_1^2=\frac{1}{2}{x_2}x-\frac{1}{4}x_2^2$，即$（{x_1}-{x_2}）x=\frac{1}{2}（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}）$，顯然x₁≠x₂，
故$x=\frac{1}{2}（{x_1}+{x_2}）$，即點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是$\frac{1}{2}（{x_1}+{x_2}）$，
點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)是$y=\frac{1}{2}{x_1}x-\frac{1}{4}x_1^2=\frac{1}{4}{x_1}（{x_1}+{x_2}）-\frac{1}{4}x_1^2=\frac{1}{4}{x_1}{x_2}=-1$，即點(diǎn)Q（2k，-1），
故點(diǎn)Q的軌跡方程是y=-1…（4分）
（Ⅱ）證明：①當(dāng)兩切線的之一的斜率不存在時，根據(jù)對稱性，設(shè)點(diǎn)P在第一象限，
則此時P點(diǎn)橫坐標(biāo)為$\sqrt{2}$，代入圓的方程得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\sqrt{3}$，
此時兩條切線方程分別為$x=\sqrt{2}，y=\sqrt{3}$，此時$∠APB=\frac{π}{2}$，
若∠APB的大小為定值，則這個定值只能是$\frac{π}{2}$…（5分）
②當(dāng)兩條切線的斜率都存在時，即$x≠±\sqrt{2}$時，設(shè)P（x₀，y₀），切線的斜率為k，
則切線方程為y-y₀=k（x-x₀），
與橢圓方程聯(lián)立消元得$（3+2{k^2}）{x^2}+4k（{y_0}-k{x_0}）x+2{（k{x_0}-{y_0}）^2}-6=0$…（6分）
由于直線y-y₀=k（x-x₀）是橢圓的切線，
故$△={[4k（{y_0}-k{x_0}）]^2}-4（3+2{k^2}）[2{（k{x_0}-{y_0}）^2}-6]=0$，
整理得$（2-x_0^2）{k^2}+2{x_0}{y_0}k-（y_0^2-3）=0$…（8分）
切線PA，PB的斜率k₁，k₂是上述方程的兩個實(shí)根，故${k_1}{k_2}=-\frac{y_0^2-3}{2-x_0^2}$，…（10分）
點(diǎn)P在圓x²+y²=5上，故$y_0^2-3=2-x_0^2$，所以k₁k₂=-1，所以$∠APB=\frac{π}{2}$．
綜上可知：∠APB的大小為定值$\frac{π}{2}$，得證…（12分）

點(diǎn)評 本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，橢圓以及拋物線的方程的求法，考查轉(zhuǎn)化是以及計(jì)算能力．