Question

設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=

5|x-1|-1，x≥0 x2+4x+4，x＜0

若關(guān)于x的方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m=

 

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Answer 1

分析：題中原方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即要求對(duì)應(yīng)于f（x）=某個(gè)常數(shù)有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
故先根據(jù)題意作出f（x）的簡(jiǎn)圖，由圖可知，只有當(dāng)f（x）=4時(shí)，它有三個(gè)根．故關(guān)于x的方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．

解答：解：∵題中原方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∴即要求對(duì)應(yīng)于f（x）等于某個(gè)常數(shù)有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
∴故先根據(jù)題意作出f（x）的簡(jiǎn)圖：
由圖可知，只有當(dāng)f（x）=4時(shí)，它有三個(gè)根．
故關(guān)于x的方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有一個(gè)實(shí)數(shù)根4．
∴4²-4（2m+1）+m²=0，
∴m=2，或m=6，
m=6時(shí)，方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以m=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷．