Question

19．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a，x=1}\\{（\frac{1}{2}）^{|x-1|}+1，x≠1}\end{array}\right.$，若方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有5個不同的實數解，則a的范圍是（　�。�

• A． （1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，2）
• B． （1，2）∪（2，3）
• C． （1，+∞）
• D． （1，3）

Answer 1

分析 解方程可得f（x）=a或f（x）=$\frac{3}{2}$，討論若a=$\frac{3}{2}$，可得原方程有3個不等實根；只要1+（$\frac{1}{2}$）^|x-1|=a有2個不等實根即可．運用指數函數的單調性，即可得到所求a的范圍．

解答 解：方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0，
解得f（x）=a或f（x）=$\frac{3}{2}$，
若a=$\frac{3}{2}$，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a，x=1}\\{（\frac{1}{2}）^{|x-1|}+1，x≠1}\end{array}\right.$，
可得x=1或0或2，不滿足題意；
則a≠$\frac{3}{2}$，
由f（x）=$\frac{3}{2}$，可得原方程有3個不等實根；
只要1+（$\frac{1}{2}$）^|x-1|=a有2個不等實根即可．
由|x-1|＞0可得0＜（$\frac{1}{2}$）^|x-1|＜1，
即有1＜a＜2，
綜上可得a∈（1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，2）．
故選：A．

點評 本題考查方程的解的個數問題，注意運用分類討論思想方法和轉化思想，考查指數函數的性質，以及運算能力，屬于中檔題．