Question

已知函數(shù)f（x）=

1+sinx

1-sinx

，x∈[0，

π

2

）
（1）若g（x）=f（x）+

1

f(x)

，求g（x）的最小值及相應(yīng)的x值
（2）若不等式（1-sinx）•f（x）＞m（m-sinx）對(duì)于x∈[

π

6

，

π

4

]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）化簡(jiǎn)函數(shù)g（x）分離常數(shù)，得到-2+

4

1-sin2x

，由x的范圍，得到sin²x∈[0，1），即可得到函數(shù)的最小值和自變量x的值；
（2）將不等式化簡(jiǎn)得到（m+1）sinx-m²+1＞0，令sinx=t，求得t∈[

1

2

，

2

2

]．即不等式（m+1）t-m²+1＞0對(duì)于x∈[

π

6

，

π

4

]恒成立，代入

1

2

，

2

2

得到兩個(gè)二次不等式，解出它們，再求交集即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1+sinx

1-sinx

，x∈[0，

π

2

），
∴g（x）=f（x）+

1

f(x)

=

1+sinx

1-sinx

+

1-sinx

1+sinx

=

(1+sinx)2+(1-sinx)2

1-sin2x

=

2(1+sin2x)

1-sin2x

=-2+

4

1-sin2x

，
∵sinx∈[0，1），∴sin²x∈[0，1），
故當(dāng)sin²x=0時(shí)，即x=0時(shí)，g（x）取最小值-2+4=2；
（2）不等式（1-sinx）•f（x）＞m（m-sinx）即為1+sinx＞m²-msinx，
即有（m+1）sinx-m²+1＞0，
令sinx=t，由于x∈[

π

6

，

π

4

]，則t∈[

1

2

，

2

2

]．
由于不等式（m+1）t-m²+1＞0對(duì)于x∈[

π

6

，

π

4

]恒成立，
則

1

2

（m+1）-m²+1＞0，

2

2

（m+1）-m²+1＞0．
解得-1＜m＜

3

2

且-1＜m＜1+

2

2

，
則m的取值范圍是：（-1，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，考查正弦函數(shù)的最值和單調(diào)性，考查二次不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．