Question

如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4．將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD．
（1）求證：AB⊥DE；
（2）求三棱錐E-ABD的側(cè)面積；
（3）求三棱錐E-ABD的外接球體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由勾股定理得AB⊥BD，由面面垂直得AB⊥平面EBD，由此能證明AB⊥DE．
（2）由已知得DE⊥BD，S_△DBE=2

3

，AB⊥BE，S_△ABE=4，ED⊥AD，S_△ADE=4，由此能求出三棱錐EABD的側(cè)面積．
（3）由線面垂直得AB⊥BE，ED⊥AD，取AE的中點O，連接BO、DO，則BO=

1

2

AE，DO=

1

2

AE，由此能求出三棱錐E-ABD的外接球體積．

解答： （1）證明：在△ABD中，
∵AB=2，AD=4，∠DAB=60°，
∴BD=

AB2+AD2-2AB•ADcos∠DAB

=2

3

．
∴AB²+BD²=AD²，∴AB⊥BD．
又∵平面EBD⊥平面ABD，
平面EBD∩平面ABD=BD，AB?平面ABD，
∴AB⊥平面EBD．
∵DE?平面EBD，∴AB⊥DE．
（2）解：由（1）知AB⊥BD．∵CD∥AB．
∴CD⊥BD，從而DE⊥BD．
在Rt△DBE中，∵DB=2

3

，DE=DC=AB=2，
∴S_△DBE=

1

2

DB•DE=2

3

．
又∵AB⊥平面EBD，BE?平面EBD，
∴AB⊥BE．
∵BE=BC=AD=4，
∴S_△ABE=

1

2

AB•BE=4．
∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，
∴ED⊥平面ABD．而AD?平面ABD，
∴ED⊥AD，
∴S_△ADE=

1

2

AD•DE=4．
綜上，三棱錐EABD的側(cè)面積S=8+2

3

．
（3）解：由（1）知：AB⊥平面EBD
∴AB⊥BE
同理可證：ED⊥AD
取AE的中點O，連接BO、DO，則：
BO=

1

2

AE，DO=

1

2

AE
∴OA=OE=OD=OE
O為三棱錐E-ABD外接球的球心
在直角三角形AED中，AE=

AD2+DE2

=2

5

，
∴三棱錐E-ABD外接球的半徑R=

5

，
∴V_{三棱錐E-ABD}=

4

3

πR³=

20

3

5

π．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐的側(cè)面積的求法，考查三棱錐的外接球體積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．