Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{5}$，且當(dāng)n≥2，n∈N₊時(shí)，有$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2{a}_{n-1}+1}{1-2{a}_{n}}$．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{1}{an}$}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）通過對(duì)$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2{a}_{n-1}+1}{1-2{a}_{n}}$變形可知$\frac{2{a}_{n-1}+1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1-2{a}_{n}}{{a}_{n}}$，進(jìn)而$\frac{1}{{a}_{n}}$=4+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，從而數(shù)列{$\frac{1}{an}$}是以5為首項(xiàng)、4為公差的等差數(shù)列；
（2）通過（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=4n+1，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2{a}_{n-1}+1}{1-2{a}_{n}}$，
∴$\frac{2{a}_{n-1}+1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1-2{a}_{n}}{{a}_{n}}$，
即2+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-2，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=4+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{\frac{1}{5}}$=5，
∴數(shù)列{$\frac{1}{an}$}是以5為首項(xiàng)、4為公差的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）可知，$\frac{1}{{a}_{n}}$=5+4（n-1）=4n+1，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{1}{4n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．