Question

14．已知函數(shù)f（x）=e^x-x²+b，曲線y=f（x）與直線y=ax+1相切于點(diǎn)（1，f（1））．
（1）求a、b的值；
（2）證明：當(dāng)x＞0時，[e^x+（2-e）x-1]（3+cosx）-4xsinx＞0．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，解方程可得a，b的值；
（ 2）由（Ⅰ）得，f（x）=e^x-x²，首先證明：當(dāng)x＞0時，f（x）≥（e-2）x+1．運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性可證；因x＞0，則$\frac{{e}^{x}+（2-e）x-1}{x}$≥x（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立）．再證明：當(dāng)x＞0時，x＞$\frac{4sinx}{3+cosx}$．通過令p（x）=x-$\frac{4sinx}{3+cosx}$，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-2x．  
由題設(shè)得a=f′（1）=e-2，a+1=f（1）=e-1+b．
故a=e-2，b=0．  
（ 2）由（1）得，f（x）=e^x-x²，
下面證明：當(dāng)x＞0時，f（x）≥（e-2）x+1．
設(shè)g（x）=f（x）-（e-2）x-1，x＞0．
則g′（x）=e^x-2x-（e-2），
設(shè)h（x）=g′（x），則h′（x）=e^x-2，
當(dāng)x∈（0，ln2）時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（ln2，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．
又h（0）=3-e＞0，h（1）=0，0＜ln2＜1，h（ln2）＜0，
所以?x₀∈（0，1），h（x₀）=0，
所以當(dāng)x∈（0，x₀）或x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0；
當(dāng)x∈（x₀，1）時，g′（x）＜0，
故g（x）在（0，x₀）和（1，+∞）單調(diào)遞增，在（x₀，1）單調(diào)遞減，
又g（0）=g（1）=0，所以g（x）=e^x-x²-（e-2）x-1≥0．
因x＞0，則$\frac{{e}^{x}+（2-e）x-1}{x}$≥x（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立）．①，
以下證明：當(dāng)x＞0時，x＞$\frac{4sinx}{3+cosx}$．
令p（x）=x-$\frac{4sinx}{3+cosx}$，
則p′（x）=1-$\frac{4（3cosx+1）}{（3+cosx）^{2}}$=$\frac{（cosx-1）（cosx-5）}{（3+cosx）^{2}}$≥0，
（當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ，k∈Z時等號成立）．
所以p（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞0時，p（x）=x-$\frac{4sinx}{3+cosx}$＞p（0）=0，
即x＞$\frac{4sinx}{3+cosx}$．②
由①②得當(dāng)x＞0時，$\frac{{e}^{x}+（2-e）x-1}{x}$＞$\frac{4sinx}{3+cosx}$，
又x（3+cosx）＞0，
故[e^x+（2-e）x-1]（3+cosx）-4xsinx＞0．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，主要考查單調(diào)性的運(yùn)用，同時考查不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)的方法，屬于中檔題．