Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²e^x-b，其中b∈R．
（Ⅰ）證明：對(duì)于任意x₁，x₂∈（-∞，0]，都有f（x₁）-f（x₂）≤$\frac{4}{{e}^{2}}$；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（結(jié)論不需要證明）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為求解最大值，最小值的差證明．
（Ⅱ）根據(jù)最大值為；f（-2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$-b，f（x）的最小值為：-b，
分類當(dāng)b＜0時(shí)，當(dāng)b=0時(shí)，當(dāng)b=$\frac{4}{{e}^{2}}$時(shí)，當(dāng)0＜b＜$\frac{4}{{e}^{2}}$時(shí)，當(dāng)b＞$\frac{4}{{e}^{2}}$時(shí)，判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域R，且f′（x）=x（x+2）e^x，
令f′（x）=0則x₁=0，或x₂=-2，
f′（x）=x（x+2）e^x，

x	（-∞，-2）	-2	（-2，0）
f′（x）	+	0	-
f（x）	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)

∴f（x）在區(qū)間（-∞，0]上的最大值為；f（-2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$-b，
∵x∈（-∞，0]，∴f（x）=x²e^x-b≥-b，
∴f（x）的最小值為：-b，
∴對(duì)于任意x₁，x₂∈（-∞，0]，都有f（x₁）-f（x₂）≤f（x）_最大值-f（x）≤$\frac{4}{{e}^{2}}$；
（Ⅱ）f′（x）=x（x+2）e^x，函數(shù)f（x）=x²e^x-b，
當(dāng)b＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=x²e^x-b＞0恒成立，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為：0
當(dāng)b=0時(shí)，函數(shù)f（x）=x²e^x，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為：1
當(dāng)b=$\frac{4}{{e}^{2}}$時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為；2，
 當(dāng)0＜b＜$\frac{4}{{e}^{2}}$時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為：3，
當(dāng)b＞$\frac{4}{{e}^{2}}$時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為：1，

點(diǎn)評(píng) 本題考查了綜合解決函數(shù)零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性，最值，分類討論的思想．