Question

2．已知△ABC的兩個頂點A、B的坐標分別為A（2，0），B（-2，0），邊AC、BC所在直線的斜率之積為λ、求C點的軌跡M的方程，并討論軌跡M是何曲線．

Answer 1

分析 設出頂點C的坐標，由AC，BC所在直線的斜率之積等于λ（λ≠0）列式整理得到頂點C的軌跡E的方程；分λ的不同取值范圍判斷軌跡M為何種圓錐曲線．

解答 解：設C（x，y），則由題知$\frac{y}{x-1}•\frac{y}{x+1}$=λ（λ≠0），
即${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{-λ}$=1（x≠±2）為點C的軌跡方程．
當λ＞0時，點C的軌跡為焦點在x軸上的雙曲線；
當λ＜-1時，點C的軌跡為焦點在y軸上的橢圓；
當λ=-1時，點C的軌跡為圓心為（0，0），半徑為1的圓；
當-1＜λ＜0時，點C的軌跡為焦點在x軸上的橢圓．

點評 本題考查了與直線有關的動點軌跡方程，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，屬于中檔題．