Question

2．已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（2，0），B（-2，0），邊AC、BC所在直線的斜率之積為λ、求C點(diǎn)的軌跡M的方程，并討論軌跡M是何曲線．

Answer 1

分析 設(shè)出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，由AC，BC所在直線的斜率之積等于λ（λ≠0）列式整理得到頂點(diǎn)C的軌跡E的方程；分λ的不同取值范圍判斷軌跡M為何種圓錐曲線．

解答 解：設(shè)C（x，y），則由題知$\frac{y}{x-1}•\frac{y}{x+1}$=λ（λ≠0），
即${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{-λ}$=1（x≠±2）為點(diǎn)C的軌跡方程．
當(dāng)λ＞0時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；
當(dāng)λ＜-1時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；
當(dāng)λ=-1時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為圓心為（0，0），半徑為1的圓；
當(dāng)-1＜λ＜0時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題．