Question

16．數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，n≥2時a_n=3S_n，則a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{3×（-\frac{1}{2}）^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由n≥2時a_n=3S_n，得到當n≥2時{a_n}是以-$\frac{3}{2}$為首項，以-$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，問題得以解決．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，n≥2時a_n=3S_n，
∴n≥2時，a_n=3S_n，
a_n+1=3S_n+1=3a_n+1+3S_n=3a_n+1+a_n，
整理，得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=-$\frac{1}{2}$，
∵a₁=1，
∴a₂=3（a₂+a₁），
∴a₂=-$\frac{3}{2}$，
∴當n≥2時{a_n}是以-$\frac{3}{2}$為首項，以-$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=-$\frac{3}{2}$×（-$\frac{1}{2}$）^n-2=3×（-$\frac{1}{2}$）^n-1，
綜上所述a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{3×（-\frac{1}{2}）^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，
故答案為：=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{3×（-\frac{1}{2}）^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$

點評 本題考查了通過遞推公式求數(shù)列的通項公式，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，屬于基礎題．