Question

2．求和：S_n=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{（2n-1）×（2n+1）}$，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 利用條件計(jì)算S₁，S₂，S₃，由此推測S_n的計(jì)算公式；利用歸納法進(jìn)行證明，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答 解：S₁=$\frac{1}{3}$，S₂=$\frac{2}{5}$，S₃=$\frac{3}{7}$
猜想：S_n=$\frac{n}{2n+1}$．
①n=1時(shí)，S₁成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，猜想成立，即S_k=$\frac{k}{2k+1}$，
則n=k+1時(shí)，S_k+1=$\frac{k}{2k+1}$+$\frac{1}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{k+1}{2（k+1）+1}$，
∴n=k+1時(shí)猜想也成立
根據(jù)①②可知猜想對任何n∈N^*都成立

點(diǎn)評 本題考查歸納推理，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，證明故當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立，是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．