Question

16．已知函數(shù)f（x）=x³-6ax²，其中a≥0．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率、切點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）先求導(dǎo)，通過(guò)討論a的取值，討論函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x³-6x²，f′（x）=3x（x-4），
∴f′（1）=-9，f（1）=-5，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程y-5=-9（x-1），
即9x+y-14=0；
（2）f'（x）=3x²-12ax．
令f'（x）=0，得x₁=0，x₂=4a．
①當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）=3x²≥0，故f（x）在R上為增函數(shù)．
②當(dāng)4a＞0，即a＞0時(shí)，列表分析如下：

x	（-∞，0）	0	（0，4a）	4a	（4a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+

所以函數(shù)f（x）在（-∞，0）和（4a，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，在（0，4a）內(nèi)單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（-∞，0）和（4a，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，在（0，4a）內(nèi)單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義．對(duì)應(yīng)含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論．