【題目】已知頂點(diǎn)為原點(diǎn)O的拋物線C1的焦點(diǎn)F與橢圓C2: =1(a>b>0)的右焦點(diǎn)重合,C1與C2在第一和第四象限的交點(diǎn)分別為A、B.
(1)若△AOB是邊長(zhǎng)為2 的正三角形,求拋物線C1的方程;
(2)若AF⊥OF,求橢圓C2的離心率e;
(3)點(diǎn)P為橢圓C2上的任一點(diǎn),若直線AP、BP分別與x軸交于點(diǎn)M(m,0)和N(n,0),證明:mn=a2 .
【答案】
(1)解:設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F(c,0),依題意得拋物線的方程為y2=4cx
∵△AOB是邊長(zhǎng)為2 的正三角形,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是 ,
代入拋物線的方程y2=4cx解得 ,
故所求拋物線C1的方程為y2=x
(2)解:∵AF⊥OF,∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是c
代入橢圓方程解得 ,即點(diǎn)A的坐標(biāo)是
∵點(diǎn)A在拋物線y2=4cx上,
∴ ,
將b2=a2﹣c2代入上式整理得: ,
即e2+2e﹣1=0,解得
∵0<e<1,故所求橢圓C2的離心率
(3)證明:設(shè)P(x1,y1),A(x2,y2),B(x2,﹣y2),
代入橢圓方程得
而直線PA的方程為(x2﹣x1)(y﹣y1)+(x﹣x1)(y1﹣y2)=0
令y=0得
在 中,以﹣y2代換y2得
∴ =
【解析】(1)確定點(diǎn)A的坐標(biāo)是 ,代入拋物線的方程y2=4cx,求出c,即可求得拋物線C1的方程;(2)若AF⊥OF,可求A的坐標(biāo),代入拋物線的方程y2=4cx,結(jié)合b2=a2﹣c2 , 即可求橢圓C2的離心率e;(3)利用直線PA、PB的方程,令y=0得m,n的值,即可證明結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:如果函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a,b]上存在x0(a<x0<b),滿足f(x0)= ,則稱函數(shù)y=f(x)是[a,b]上的“平均值函數(shù)”,x0而是它的一個(gè)均值點(diǎn). 例如y=|x|是[﹣2,2]上的“平均值函數(shù)”,0就是它的均值點(diǎn).給出以下命題:
①函數(shù)f(x)=sinx﹣1是[﹣π,π]上的“平均值函數(shù)”;
②若y=f(x)是[a,b]上的“平均值函數(shù)”,則它的均值點(diǎn)x0≤ ;
③若函數(shù)f(x)=x2+mx﹣1是[﹣1,1]上的“平均值函數(shù)”,則實(shí)數(shù)m∈(﹣2,0);
④若f(x)=lnx是區(qū)間[a,b](b>a≥1)上的“平均值函數(shù)”,x0是它的一個(gè)均值點(diǎn),則lnx0< .
其中的真命題有(寫出所有真命題的序號(hào)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】要得到函數(shù)y= cosx的圖象,只需將函數(shù)y= sin(2x+ )的圖象上所有的點(diǎn)的( )
A.橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍(縱坐標(biāo)不變),再向左平行移動(dòng) 個(gè)單位長(zhǎng)度
B.橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍(縱坐標(biāo)不變),再向右平行移動(dòng) 個(gè)單位長(zhǎng)度
C.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再向左平行移動(dòng) 個(gè)單位長(zhǎng)度
D.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再向右平行移動(dòng) 個(gè)單位長(zhǎng)度
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓的圓心在軸上,點(diǎn)是圓的上任一點(diǎn),且當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí),到直線距離最大.
(1)求直線被圓截得的弦長(zhǎng);
(2)已知,經(jīng)過原點(diǎn),且斜率為的直線與圓交于,兩點(diǎn).
(Ⅰ)求證:為定值;
(Ⅱ)若,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在二項(xiàng)式 的展開式中,前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列,把展開式中所有的項(xiàng)重新排成一列,則有理項(xiàng)都不相鄰的概率為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率為 ,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線 x﹣ y+12=0相切.
(1)求橢圓C的方程,
(2)設(shè)A(﹣4,0),過點(diǎn)R(3,0)作與x軸不重合的直線L交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),連接AP,AQ分別交直線x= 于M,N兩點(diǎn),若直線MR、NR的斜率分別為k1 , k2 , 試問:k1 k2是否為定值?若是,求出該定值,若不是,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù),使得成立,則稱函數(shù)有“飄移點(diǎn)”.
Ⅰ試判斷函數(shù)及函數(shù)是否有“飄移點(diǎn)”并說明理由;
Ⅱ若函數(shù)有“飄移點(diǎn)”,求a的取值范圍.
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