Question

8．已知函數(shù)f（x）=lg（a-ax-x²）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）存在，求a的取值范圍．
（Ⅱ） 若f（x）在x∈（2，3）上有意義，求a的取值范圍．
（Ⅲ）若f（x）＞0的解集為（2，3），求a的值．

Answer 1

分析 第（Ⅰ）問(wèn)是能成立問(wèn)題，相當(dāng)于存在實(shí)數(shù)x，使a-ax-x²＞0成立；
第（Ⅱ）問(wèn)是恒成立問(wèn)題，等價(jià)于ϕ（x）=a-ax-x²＞0在（2，3）恒成立，即ϕ（x）的最小值大于0；
第（Ⅲ）問(wèn)是恰成立問(wèn)題，等價(jià)于不等式a-ax-x²＞1的解集為（2，3），于是有x²+ax+1-a＜0，等價(jià)于方程x²+ax+1-a=0的兩個(gè)根為2和3．

解答 解：（Ⅰ） f（x）的定義域非空，相當(dāng)于存在實(shí)數(shù)x，使a-ax-x²＞0成立，
即ϕ（x）=a-ax-x²的最大值大于0成立，$\begin{array}{l}{ϕ_{max}}（x）=\frac{{-4a-{a^2}}}{-4}=\frac{{4a+{a^2}}}{4}＞0，\end{array}$解得    a＜-4或a＞0．
（Ⅱ）f（x）在區(qū)間（2，3）上有意義，等價(jià)于ϕ（x）=a-ax-x²＞0在（2，3）恒成立，即ϕ（x）的最小值大于0．
解不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}≤\frac{5}{2}，}&{\;}\\{ϕ（3）≥0，}&{\;}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}＞\frac{5}{2}，}&{\;}\\{ϕ（2）≥0，}&{\;}\end{array}}\right.$
$\left\{{\begin{array}{l}{a≥-5，}&{\;}\\{a-3a-9≥0，}&{\;}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{a＜-5，}&{\;}\\{a-2a-4≥0}&{\;}\end{array}}\right.$解得     $a≤-\frac{9}{2}$．
（Ⅲ）f（x）＞0的解集為（2，3），等價(jià)于不等式a-ax-x²＞1的解集為（2，3）；于是有x²+ax+1-a＜0，
這等價(jià)于方程x²+ax+1-a=0的兩個(gè)根為2和3，于是可解得a=-5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查能成立、恒成立、恰成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．