Question

18．已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，首項(xiàng)為a₁，且1，a_n，S_n成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=（log₂a_2n+1）×（log₂a_2n+2），求證：$\frac{1}{b_1}$+$\frac{1}{b_2}$+$\frac{1}{b_3}$+…+$\frac{1}{b_n}$＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由1，a_n，S_n成等差數(shù)列，可得2a_n=S_n+1，利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得b_n=4n（n+1），$\frac{1}{bn}$=$\frac{1}{4}（{\frac{1}{n}×\frac{1}{n+1}}）=\frac{1}{4}（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$，再利用“裂項(xiàng)求和方法”即可得出．

解答 （1）解：∵1，a_n，S_n成等差數(shù)列，∴2a_n=S_n+1，
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=S₁+1，∴a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2a_n-1，S_n-1=2a_n-1-1，
兩式相減得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n=1×2^n-1=2^n-1．
（2）證明：b_n=（log₂a_2n+1）×（log₂a_2n+3）=log₂2^2n+1-1×log₂2^2n+3-1=4n（n+1），
$\frac{1}{bn}$=$\frac{1}{4}（{\frac{1}{n}×\frac{1}{n+1}}）=\frac{1}{4}（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$，
$\begin{array}{l}\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+\frac{1}{b_3}+…+\frac{1}{b_n}=\frac{1}{4}[{（{\frac{1}{1}-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）}]\\=\frac{1}{4}（{1-\frac{1}{n+1}}）＜\frac{1}{4}（n∈{N^*}）\end{array}$
即$\frac{1}{b1}$+$\frac{1}{b2}$+$\frac{1}{b3}$+…+$\frac{1}{bn}$＜$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、裂項(xiàng)求和方法”、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．