Question

設(shè)集合A={1，2，3，…8，9}當(dāng)x∈A時(shí)，若有x+1∉A且x-1∉A則稱元素x是集合A的一個(gè)孤立元．在集合A中任取3個(gè)不同的數(shù)．
（Ⅰ）求這3個(gè)數(shù)中恰有1個(gè)是奇數(shù)的概率；
（Ⅱ）設(shè)ξ為這3個(gè)數(shù)中孤立元的個(gè)數(shù)（例如：若取出的數(shù)為1，2，4，則孤立元為4，此時(shí)ξ的值是1），求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）分別求出在集合A中任取3個(gè)不同的數(shù)的情況總數(shù)及這3個(gè)數(shù)中恰有1個(gè)是奇數(shù)的情況數(shù)，代入古典概型概率公式，可得答案；
（II）由已知中可得ξ的取值有0，1，3三種情況，進(jìn)而根據(jù)古典概型概率公式，求出隨機(jī)變量ξ的分布列，代入數(shù)學(xué)期望公式可得其數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答： 解：（I）∵集合A={1，2，3，…8，9}共有9個(gè)元素
故在集合A中任取3個(gè)不同的數(shù)共有

C

3 9

種不同情況；
其中恰有1個(gè)是奇數(shù)有

C

1 5

C

2 4

種不同情況；
故這3個(gè)數(shù)中恰有1個(gè)是奇數(shù)的概率P=

C 1 5 C 2 4

C 3 9

=

5

14

（II）由孤立元的定義可得
從集合A中任取3個(gè)不同的數(shù)孤立元可能有0個(gè)，1個(gè)或3個(gè)
即ξ的取值為0，1，3
∵P（ξ=0）=

7

C 3 9

=

1

12

P（ξ=1）=

42

C 3 9

=

6

12

∴P（ξ=3）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）=

5

12

∴隨機(jī)變量ξ的分布列為

	0	1	3
P	1 12	6 12	5 12

則隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

1

12

+1×

6

12

+3×

5

12

=

7

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個(gè)問題，題目做起來不難，運(yùn)算量也不大，只要注意解題格式就問題不大