Question

4．如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD為正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，點G是EF的中點．
（Ⅰ）證明：AG⊥CD；
（Ⅱ）若點M在線段AC上，且$\frac{AM}{MC}=\frac{1}{3}$，求證：GM∥平面ABF；
（Ⅲ）已知空間中有一點O到A，B，C，D，G五點的距離相等，請指出點O的位置．（只需寫出結論）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據等腰三角形AG⊥EF．推證 AG⊥AD，AG⊥平面ABCD，線面的轉化 AG⊥CD．
（Ⅱ）根據中點推證GF∥MN，GF=MN．四邊形GFNM是平行四邊形． 由直線平面平行的判定定理推證GM∥平面ABF；
（Ⅲ）根據中點與平行的關系得出點O為線段GC的中點．

解答 （Ⅰ）證明：因為AE=AF，點G是EF的中點，
所以 AG⊥EF．
又因為 EF∥AD，
所以 AG⊥AD．
因為平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，AG?平面ADEF，
所以 AG⊥平面ABCD．
因為 CD?平面ABCD，
所以 AG⊥CD．
（Ⅱ）證明：如圖，過點M作MN∥BC，且交AB于點N，連結NF，
因為 $\frac{AM}{MC}=\frac{1}{3}$，所以$\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AC}=\frac{1}{4}$，
因為 BC=2EF，點G是EF的中點，
所以 BC=4GF，
又因為 EF∥AD，四邊形ABCD為正方形，
所以 GF∥MN，GF=MN．
所以四邊形GFNM是平行四邊形．
所以 GM∥FN．
又因為GM?平面ABF，F(xiàn)N?平面ABF，
所以 GM∥平面ABF．
（Ⅲ）解：點O為線段GC的中點．

點評 本題考查了空間幾何體的性質，空間直線的位置關系，直線平面的平行關系，掌握好定理，轉化直線的為關系判斷即可．