Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²-cosx，若當-π＜x＜π時，f（x₁）＜f（x₂）恒成立，則下列結(jié)論一定成立的是（　　）

• A． x₁＞x₂
• B． x₁＜x₂
• C． x₁²＜x₂²
• D． |x₁|＞|x₂|

Answer 1

分析 先研究函數(shù)的性質(zhì)，觀察知函數(shù)是個偶函數(shù)，由于f′（x）=2x+sinx，在[0，π]上f′（x）＞0，當-π＜x＜0時，f'（x）＜0，可推斷出當f（x₁）＜f（x₂）時，得f（|x₁|）＜f（|x₂|），從而得解．

解答 解：∵f（x）是偶函數(shù)，
又∵f'（x）=2x+sinx，
∴當0＜x＜π時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)增；
∴當-π＜x＜0時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)減；
所以當f（x₁）＜f（x₂）時，得f（|x₁|）＜f（|x₂|）
所以x₁²＜x₂²．
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)奇偶性與單調(diào)性，屬于利用性質(zhì)推導出自變量的大小的問題，主要考查函數(shù)與導數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．