Question

12．已知函數(shù)f（x）=-2^x-1+$\frac{1}{{{2^{x+1}}}}$，g（x）=x³-3x，那么函數(shù)y=f（g（x））是（　�。�

• A． 奇函數(shù)，且在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)
• B． 奇函數(shù)，且在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)
• C． 偶函數(shù)，且在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)
• D． 偶函數(shù)，且在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．

解答 解：f（x）=-2^x-1+$\frac{1}{{{2^{x+1}}}}$=-$\frac{{2}^{x}}{2}+\frac{{2}^{-x}}{2}$，
則f（-x）=$-\frac{{2}^{-x}}{2}+\frac{{2}^{x}}{2}$=-（-$\frac{{2}^{x}}{2}+\frac{{2}^{-x}}{2}$）=-f（x），則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，
則f（g（-x））=f（-g（x））=-f（g（x）），
故函數(shù)y=f（g（x））是奇函數(shù)．
函數(shù)g′（x）=3x²-3=3（x²-1），
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，則g（x）為增函數(shù)，且g（x）＞g（1）=-2，
∵f（x）為減函數(shù)，
∴此時(shí)函數(shù)y=f（g（x））在（1，+∞）上是減函數(shù)，
同理函數(shù)y=f（g（x））在（0，1）上是增函數(shù)，
故選：A．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．