Question

（05年江西卷理）（14分）

如圖，設(shè)拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.

（1）求△APB的重心G的軌跡方程.

（2）證明∠PFA=∠PFB.

 

Answer 1

解析：（1）設(shè)切點A、B坐標(biāo)分別為，

∴切線AP的方程為：

  切線BP的方程為：

解得P點的坐標(biāo)為：

所以△APB的重心G的坐標(biāo)為 ，

所以，由點P在直線l上運動，從而得到重心G的軌跡方程為：

   （2）方法1：因為

由于P點在拋物線外，則

∴

同理有

∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①當(dāng)所以P點坐標(biāo)為，則P點到直線AF的距離為：

即

所以P點到直線BF的距離為：

所以d₁=d₂，即得∠AFP=∠PFB.

②當(dāng)時，直線AF的方程：

直線BF的方程：

所以P點到直線AF的距離為：

，同理可得到P點到直線BF的距離，因此由d₁=d₂，可得到∠AFP=∠PFB.