Question

已知函數(shù)f（x）=sin（x-

π

3

）sin（x+

π

3

），g（x）=

3

2

sin2x+

1

4

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的最小值，并求使h（x）取得最小值時(shí)x的取值集合．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和與差的三角函數(shù)公式以及倍角公式化簡(jiǎn)，然后求周期；
（2）求出h（x）的解析式，然后運(yùn)用公式化簡(jiǎn)．

解答： 解：（1）∵（x）=sin（x-

π

3

）sin（x+

π

3

）=（

1

2

sinx-

3

2

cosx）（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=

1

4

sin2x-

3

4

cos2x=-

1

4

-

1

2

cos2x，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；  …（6分）
（2）∵h(yuǎn)（x）=f（x）+g（x）=

3

2

sin2x+

1

4

-

1

4

-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
∴h（x）的最小值為-1，此時(shí)2x-

π

6

=2kπ-

π

2

（k∈Z），
所以x=kπ-

π

6

，使h（x）取得最小值時(shí)的x取值集合{x|x=kπ-

π

6

，k∈Z}．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)解析式的化簡(jiǎn)以及性質(zhì)的運(yùn)用，關(guān)鍵是熟練三角函數(shù)公式，正確將解析式化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)名稱的形式．