Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+2b|x|+6，x∈[-1，a]，且a＞-1，
（1）若a=0，b=3，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若b=3，且函數(shù)y=f（x）-11有三個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．
（3）若b是常數(shù)且|b|＞1，設函數(shù)y=f（x）的最大值為g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質,函數(shù)的圖象與圖象變化

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）當a=0，b=3時，f（x）=-x²-6x+6，根據(jù)x∈[-1，0]，利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域．
（2）當b=3時，f（x）=-x²+6|x|+6，函數(shù)y=f（x）-11=-x²+6|x|-5，數(shù)形結合求得函數(shù)y=f（x）-11有三個不同的零點時，實數(shù)a的取值范圍．
（3）f（x）=-x²+2b|x|+6的對稱軸為x=b，再分對稱軸在區(qū)間的左側、中間、右側三種情況，分別求得函數(shù)f（x）的最大值g（a），綜合可得結論．

解答： 解：（1）當a=0，b=3時，f（x）=-x²-6x+6，
∵x∈[-1，0]，f（x）為減函數(shù)，
故當x=-1時，f（x）取最大值11，當x=0時，f（x）取最小值6，
故函數(shù)f（x）的值域為[6，11]．
（2）當b=3時，f（x）=-x²+6|x|+6，
函數(shù)y=f（x）-11=-x²+6|x|-5，
其圖象如下圖所示：
由圖可得：若函數(shù)y=f（x）-11有三個不同的零點，
則實數(shù)a≥5，
即實數(shù)a的取值范圍為[5，+∞）．
（3）f（x）=-x²+2b|x|+6的對稱軸為x=b，
∵x∈[-1，a]，且a＞-1
①當b＜-1時，函數(shù)f（x）在[-1，a]上是減函數(shù)，
函數(shù)y=f（x）的最大值為g（-1）=f（-1）=2b+5．
②當-1≤b≤a時，函數(shù)y=f（x）的最大值為g（b）=f（b）=-b²+2b|b|+6．
③當b＞a時，函數(shù)f（x）在[-1，a]上是增函數(shù)，
函數(shù)y=f（x）的最大值為g（a）=f（a）=-a²+2b|a|+6．
綜上可得，g（a）=

2b+5  ，b＜-1 -b2+2b|b|+6  ，-1≤b≤a -a2+2b|a|+6  ，b＞a

．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質，體現(xiàn)了轉化、數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于基礎題．