Question

12．設(shè)$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$為單位向量，其中$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow$=$\overrightarrow{{e}_{2}}$，且$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$上的投影為2，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2，$\overrightarrow{{e}_{1}}$與$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量投影的定義以及向量數(shù)量積和夾角的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$為夾角為θ，
則∵$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$上的投影為2，
∴$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$\frac{（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）•\overrightarrow{{e}_{2}}}{|\overrightarrow{{e}_{2}}|}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$+|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|²=2|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|•|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|cosθ+1=2，
解得$cosθ=\frac{1}{2}$，
則$θ=\frac{π}{3}$．
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$+|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|²=2|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|•|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|cosθ+12，
故答案為：2，$\frac{π}{3}$．

點評 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)向量投影的定義先求出向量夾角是解決本題的關(guān)鍵．