Question

已知函數(shù)f（x）=ln

x

a

．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線為x-y-1=0，求a的值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=

x-a

ax

，a＞0，證明：當(dāng)x＞a，f（x）的圖象始終在g（x）圖象的下方；
（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，h（x）=f（x）-e[1+

x

•g（x）]，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），h′（x）表示h（x）導(dǎo)函數(shù)，求證：對(duì)于曲線C上的不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＜x₂，存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直線AB的斜率等于h′（x₀）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）已知曲線上的點(diǎn)，并且知道過(guò)此點(diǎn)的切線方程，容易求出斜率，又知點(diǎn)（1，f（1））在曲線上，利用方程聯(lián)立解出a的值；
（Ⅱ）令φ（x）=f（x）-g（x）=lnx-lna-

x-a

ax

（x＞a＞0），證明φ（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞減，且φ（a）=0，即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）若存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直線AB的斜率等于h′（x₀），則x₀ln

x2

x1

-（x₂-x₁）=0，設(shè)F（x）=xln

x2

x1

-（x₂-x₁），則F（x）是關(guān)于x的一次函數(shù)，只需證明F（x）在（x₁，x₂）上單調(diào)，且滿足F（x₁）F（x₂）＜0．將x₁，x₂看作自變量，得到兩個(gè)新函數(shù)足F（x₁）、F（x₂），討論它們的最值即可．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=ln

x

a

，∴f′（x）=

1

x

，
∴f′（1）=1，
∵f（1）=ln

1

a

，
∵曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為x-y-1=0，
∴1-ln

1

a

-1=0，∴a=1；
（Ⅱ）證明：令φ（x）=f（x）-g（x）=lnx-lna-

x-a

ax

（x＞a＞0），
則φ′（x）=-

( x - a )2

2x ax

＜0，
∴φ（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞減，且φ（a）=0，
∴x＞a時(shí)，φ（x）＜φ（a）=0，即f（x）＜g（x），
∴當(dāng)x＞a時(shí)，f（x）的圖象始終在g（x）的圖象的下方；
（Ⅲ）證明：由題意，h（x）=lnx-ex，
若存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直線AB的斜率等于h′（x₀），
則

1

x0

-e=

lnx2-lnx1-e(x2-x1)

x2-x1

，
∴x₀ln

x2

x1

-（x₂-x₁）=0，
設(shè)F（x）=xln

x2

x1

-（x₂-x₁），則F（x）是關(guān)于x的一次函數(shù)，
∴只需證明F（x）在（x₁，x₂）上單調(diào)，且滿足F（x₁）F（x₂）＜0．
F（x₁）=x₁ln

x2

x1

-（x₂-x₁），F(xiàn)（x₂）=x₂ln

x2

x1

-（x₂-x₁），
將x₁，x₂看作自變量，得到兩個(gè)新函數(shù)足F（x₁）、F（x₂），討論它們的最值．
F（x₁）=x₁ln

x2

x1

-（x₂-x₁），F(xiàn)′（x₁）=ln

x2

x1

＞0，函數(shù)是增函數(shù)，
∵x₁＜x₂，∴F（x₁）＜F（x₂）=0．
同理F（x₂）=x₂ln

x2

x1

-（x₂-x₁），函數(shù)是增函數(shù)，∴F（x₁）＞F（x₂）=0．
∴F（x₁）F（x₂）＜0∴F（x）=xln

x2

x1

-（x₂-x₁）在（x₁，x₂）上有零點(diǎn)x₀，
∵

x2

x1

＞1，∴l(xiāng)n

x2

x1

＞0，
∴F（x）=xln

x2

x1

-（x₂-x₁），）在（x₁，x₂）上是增函數(shù)，
∴F（x）=xln

x2

x1

-（x₂-x₁）在（x₁，x₂）上有唯一零點(diǎn)x₀，
∴對(duì)于曲線C上的不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＜x₂，
存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直線AB的斜率等于h′（x₀）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵．