楊輝是中國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家,他的數(shù)學(xué)研究與教育工作的重點(diǎn)是在計(jì)算技術(shù)方面,楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果,它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān).圖是一個(gè)7階的楊輝三角.
給出下列五個(gè)命題:
①記第i(i∈N*)行中從左到右的第j(j∈N*)個(gè)數(shù)為aij,則數(shù)列{aij}的通項(xiàng)公式為Cij;
②第k行各數(shù)的和是2k;
③n階楊輝三角中共有
(n+1)22
個(gè)數(shù);
④n階楊輝三角的所有數(shù)的和是2n+1-1.
其中正確命題的序號(hào)為
②④
②④
分析:據(jù)第i行各個(gè)數(shù)是(a+b)i的展開式的二項(xiàng)式系數(shù),故可求數(shù)列{aij}的通項(xiàng)公式為Cij-1
據(jù)各行的所有數(shù)和是各個(gè)二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)和,(a+b)n的二項(xiàng)式系數(shù)和為2n得解.第k行各數(shù)的和是2k;第k行共有k+1個(gè)數(shù),可求n階楊輝三角中數(shù)的個(gè)數(shù);
解答:解:據(jù)第i行各個(gè)數(shù)是(a+b)i的展開式的二項(xiàng)式系數(shù),故有數(shù)列{aij}的通項(xiàng)公式為Cj-1i,故①錯(cuò);各行的所有數(shù)和是各個(gè)二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)和,第k行各數(shù)的和是2k.,故②正確;第k行共有k+1個(gè)數(shù),從而n階楊輝三角中共有1+2++(n+1)=
(n+1)(n+2)
2
個(gè)數(shù),故③錯(cuò);n階楊輝三角的所有數(shù)的和是1+2+22+2n=2n+1-1,故④正確
故答案為:②④
點(diǎn)評(píng):本題考查二項(xiàng)式系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)和公式、二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)等.屬于基礎(chǔ)題
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

楊輝是中國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家、楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果,它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān),楊輝三角中蘊(yùn)藏了許多優(yōu)美的規(guī)律.如圖是一個(gè)11階楊輝三角:
(1)求第20行中從左到右的第4個(gè)數(shù);
(2)若第n行中從左到右第14與第15個(gè)數(shù)的比為
2
3
,求n的值;
(3)求n階(包括0階)楊輝三角的所有數(shù)的和;
(4)在第3斜列中,前5個(gè)數(shù)依次為1,3,6,10,15;第4斜列中,第5個(gè)數(shù)為35.顯然,1+3+6+10+15=35.事實(shí)上,一般地有這樣的結(jié)論:第m斜列中(從右上到左下)前k個(gè)數(shù)之和,一定等于第m+1斜列中第k個(gè)數(shù).試用含有m、k(m,k∈N×)的數(shù)學(xué)公式表示上述結(jié)論,并給予證明.
第0行 1 第1斜列
第1行 1 1 第2斜列
第2行 1 2 1 第3斜列
第3行 1 3 3 1 第4斜列
第4行 1 4 6 4 1 第5斜列
第5行 1 5 10 10 5 1 第6斜列
第6行 1 6 15 20 15 6 1 第7斜列
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第8斜列
第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 第9斜列
第9行 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 第10斜列
第10行 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 第11斜列
第11行 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 第12斜列
11階楊輝三角

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

楊輝是中國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家、楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果,它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān),楊輝三角中蘊(yùn)藏了許多優(yōu)美的規(guī)律.如圖所示是一個(gè)11階楊輝三角:

(1)求第20行中從左到右的第4個(gè)數(shù);
(2)若第n行中從左到右第14與第15個(gè)數(shù)的比為
23
,求n的值;
(3)在第3斜列中,前5個(gè)數(shù)依次為1,3,6,10,15;第4斜列中,第5個(gè)數(shù)為35.顯然,1+3+6+10+15=35.事實(shí)上,一般地有這樣的結(jié)論:第m斜列中(從右上到左下)前k個(gè)數(shù)之和,一定等于第m+1斜列中第k個(gè)數(shù).試用含有m,k(m,k∈N*)的數(shù)學(xué)公式表示上述結(jié)論,并給予證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年江蘇省泰州中學(xué)高二第二學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(理)試題 題型:解答題

(本題滿分15分)楊輝是中國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家,楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果,它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān),楊輝三角中蘊(yùn)藏了許多優(yōu)美的規(guī)律.下圖是一個(gè)11階楊輝三角:

(1)求第20行中從左到右的第3個(gè)數(shù);
(2)若第行中從左到右第13與第14個(gè)數(shù)的比為,求的值;
(3)寫出第行所有數(shù)的和,寫出階(包括階)楊輝三角中的所有數(shù)的和;
(4)在第3斜列中,前5個(gè)數(shù)依次為1,3,6,10,15;第4斜列中,第5個(gè)數(shù)為35,我們發(fā)現(xiàn),事實(shí)上,一般地有這樣的結(jié)論:第斜列中(從右上到左下)前個(gè)數(shù)之和,一定等于第斜列中第個(gè)數(shù).
試用含有,的數(shù)學(xué)式子表示上述結(jié)論,并證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年江蘇省高二第二學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(理)試題 題型:解答題

(本題滿分15分)楊輝是中國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家,楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果,它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān),楊輝三角中蘊(yùn)藏了許多優(yōu)美的規(guī)律.下圖是一個(gè)11階楊輝三角:

  

(1)求第20行中從左到右的第3個(gè)數(shù);

(2)若第行中從左到右第13與第14個(gè)數(shù)的比為,求的值;

(3)寫出第行所有數(shù)的和,寫出階(包括階)楊輝三角中的所有數(shù)的和;

(4)在第3斜列中,前5個(gè)數(shù)依次為1,3,6,10,15;第4斜列中,第5個(gè)數(shù)為35,我們發(fā)現(xiàn),事實(shí)上,一般地有這樣的結(jié)論:第斜列中(從右上到左下)前個(gè)數(shù)之和,一定等于第斜列中第個(gè)數(shù).

試用含有的數(shù)學(xué)式子表示上述結(jié)論,并證明.

 

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