Question

20．某網(wǎng)站體育版足球欄目發(fā)起了“射手的連續(xù)進(jìn)球與射手在場上的區(qū)域位置的關(guān)系”的調(diào)查活動(dòng)，在所有參與調(diào)查的人中，持“有關(guān)系”“無關(guān)系”“不知道”態(tài)度的人數(shù)如表所示：

	有關(guān)系	無關(guān)系	不知道
40歲以下	800	450	200
40歲以上（含40歲）	100	150	300

（1）在所有參與調(diào)查的人中，用分層抽樣的方法抽取n個(gè)人，已知從持“有關(guān)系”態(tài)度的人中抽取45人，求n的值；
（2）在持“不知道”態(tài)度的人中，用分層抽樣的方法抽取10人看作一個(gè)總體：
①從這10個(gè)人中選取3人，求至少一人在40歲以下的概率；
②從這10人中選取3人，若設(shè)40歲以下的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)分層抽樣的特點(diǎn)“等比例抽樣”求解即可．
（2）①利用古典概型概率公式以及對立事件概率公式求解；②利用超幾何分布的概率公式求概率，再求期望即可．

解答 解：（1）由題意，得$\frac{800+100}{45}$=$\frac{800+450+200+100+150+300}{n}$，
解得n=100．                                  
（2）設(shè)所選取的人中有m人在40歲以下
則$\frac{200}{200+300}=\frac{m}{10}$，解得m=4                          
①記“至少一人在40歲以下”為事件A
則P（A）=1-$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{5}{6}$．
②由題意得X的可能取值為0，1，2，3，
P（x=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{6}$，P（x=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{2}$，
P（x=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，p（x=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{30}$，
∴x的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$

E（x）=$0×\frac{1}{6}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{3}{10}$+3×$\frac{1}{30}=\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評 遇到“至少”、“至多”，且正面情況較多時(shí)，可以考慮對立事件的概率；．利用概率或隨機(jī)變量的分布列以及期望、方差解決應(yīng)用題時(shí)，要注意隨機(jī)變量的實(shí)際意義．