Question

4．已知函數(shù)f（x）=log₂（x²-2ax+3）．
（1）若a=1，求f（x）的值域；
（2）若a=2，求函數(shù)f（x）的定義域及單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)f（x）的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；
（4）若函數(shù)f（x）的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍；
（5）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（6）若函數(shù)f（x）在[-1，+∞）上有意義，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出y=x²-2ax+3的值域，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出f（x）的值域；
（2）令x²-2ax+3＞0解出f（x）的定義域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得出f（x）的單調(diào)性；
（3）令x²-2ax+3＞0恒成立解出a的范圍；
（4）令y=x²-2ax+3得最小值≤0即可；
（5）根據(jù)符合函數(shù)的單調(diào)性得出y=x²-2ax+3在[2，+∞）上單調(diào)遞增，且x²-2ax+3＞0在[2，+∞）上恒成立，列不等式組解出a的范圍；
（6）令x²-2ax+3＞0在[-1，+∞）上恒成立，列不等式組解出a的范圍

解答 解：（1）a=1時，f（x）=log₂（x²-2x+3）=log₂[（x-1）²+2]，
∵（x-1）²+2≥2，∴f（x）≥log₂2=1，
∴f（x）的值域為[1，+∞）．
（2）當a=2時，f（x）=log₂（x²-4x+3），
令x²-4x+3＞0得x＜1或x＞3，
∴f（x）的定義域為（-∞，1）∪（3，+∞）．
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知y=x²-4x+3在（-∞，1）單調(diào)遞減，在（3，+∞）單調(diào)遞增，
∴f（x）=log₂（x²-4x+3）在（-∞，1）單調(diào)遞減，在（3，+∞）單調(diào)遞增．
（3）若f（x）的定義域為R，則x²-2ax+3＞0恒成立，
∴△=4a²-12＜0，解得-$\sqrt{3}$＜a＜$\sqrt{3}$．
（4）設(shè)A為y=x²-2ax+3的值域，則A=[3-a²，+∞），
若f（x）的值域為R，則（0，+∞）⊆A，∴3-a²≤0，解得a$≤-\sqrt{3}$或a$≥\sqrt{3}$．
（5）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
則y=x²-2ax+3在[2，+∞）上單調(diào)遞增，且x²-2ax+3＞0在[2，+∞）上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{7-4a＞0}\end{array}\right.$，解得a＜$\frac{7}{4}$，
（6）若函數(shù)f（x）在[-1，+∞）上有意義，則x²-2ax+3＞0在[-1，+∞）上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤-1}\\{4+2a＞0}\end{array}\right.$，或△=4a²-12＜0，或$\left\{\begin{array}{l}{△=4{a}^{2}-12=0}\\{a＜-1}\end{array}\right.$，解得-2＜a≤-1或-$\sqrt{3}＜a＜\sqrt{3}$或a=-$\sqrt{3}$．
綜上，a的范圍是（-2，$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，符合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．