已知圓O的方程為x2+y2=16.
(1)求過點(diǎn)M(-4,8)的圓O的切線方程;
(2)過點(diǎn)N(3,0)作直線與圓O交于A、B兩點(diǎn),求△OAB的最大面積以及此時(shí)直線AB的斜率.
分析:(1)圓心為O(0,0),半徑r=4,設(shè)過點(diǎn)M(-4,8)的切方程為y-8=k(x+4),即kx-y+4k+8=0,則
|4k+8|
k2+1
=4
,解得k=-
3
4
,由此能求出過點(diǎn)M(-5,11)的圓C的切線方程.
(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),S△ABC=3
7
,當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=k(x-3),即kx-y-3k=0,圓心O(0,0)到直線AB的距離d=
3|k|
k2+1
,線段AB的長度|AB|=2
16-d2
,由經(jīng)能求出△OAB的最大面積和此時(shí)直線AB的斜率.
解答:解:(1)∵圓O的方程為x2+y2=16,
∴圓心為O(0,0),半徑r=4,
設(shè)過點(diǎn)M(-4,8)的切方程為y-8=k(x+4),即kx-y+4k+8=0,(1分)
|4k+8|
k2+1
=4
,解得k=-
3
4
,(3分)
切線方程為3x+4y-20=0(5分)
當(dāng)斜率不存在時(shí),x=-4也符合題意.
故切線方程為:3x+4y-20=0或x=-4.(6分)
(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),S△ABC=3
7
,(7分)
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=k(x-3),即kx-y-3k=0,
圓心O(0,0)到直線AB的距離d=
3|k|
k2+1
,(9分)
線段AB的長度|AB|=2
16-d2

S△ABC=
1
2
|AB|d=d
16-d2
=
d2(16-d2
d2+(16-d2)
2
=8
.(11分)
當(dāng)且僅當(dāng)d2=8時(shí)取等號(hào),此時(shí)
9k2
k2+1
 =8
,解得k=±2
2

所以,△OAB的最大面積為8,此時(shí)直線AB的斜率為±2
2
.(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查直線和圓的位置關(guān)系,具體涉及到圓的基本性質(zhì)和圓的切線方程、三角形最大面積的求法和直線的斜率等知識(shí)點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,避免不必要的錯(cuò)誤.
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