Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值 ；

（2）若是函數(shù)圖象上不同的三點(diǎn)，且，試判斷與之間的大小關(guān)系，并證明 ．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】【試題分析】求函數(shù)在某一閉區(qū)間上的最值問題，基本方法是求導(dǎo)，研究導(dǎo)數(shù)的在區(qū)間上的正負(fù)，得出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求極值和最值，本題關(guān)鍵是含有參數(shù)，所以針對(duì)的不同情況，進(jìn)行討論得出最值；第二步先表示出及，然后差值比較，重要的一個(gè)技巧是設(shè) ，轉(zhuǎn)化為關(guān)于 的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.

(1) ,

當(dāng)時(shí)， 時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， 時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)，由，得，又，則有如下分類 ：

①當(dāng)，即時(shí)， 在上是增函數(shù) ，所以；②當(dāng)，即時(shí)， 在上是增函數(shù) ，在上是減函數(shù) ，所以；③當(dāng)，即時(shí)， 在上是減函數(shù) ，所以，綜上，函數(shù)在上的最大值為.

(2)

, ,

,令，所以在上是增函數(shù) ，又，當(dāng)時(shí)， ，故；當(dāng)時(shí)， ，故，綜上知： .