Question

15．已知函數(shù)f（x）=x²-x，g（x）=e^x-ax-1（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性；
（2）當x＞0時，f（x）≤g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出g'（x）=e^x-a，由a≤0和a＞0分類討論，由此能求出結(jié)果．
（2）當x＞0時，$a≤\frac{e^x}{x}-x-\frac{1}{x}+1$令$h（x）=\frac{e^x}{x}-x-\frac{1}{x}+1（x＞0）$，則$h'（x）=\frac{{{e^x}（x-1）-{x^2}+1}}{x^2}$令φ（x）=e^x（x-1）-x²+1（x＞0），則φ'（x）=x（e^x-2），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵g（x）=e^x-ax-1，∴g'（x）=e^x-a
①若a≤0，g'（x）＞0，g（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
②若a＞0，當x∈（-∞，lna]時，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；
當x∈（lna，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增．
（2）當x＞0時，x²-x≤e^x-ax-1，即$a≤\frac{e^x}{x}-x-\frac{1}{x}+1$
令$h（x）=\frac{e^x}{x}-x-\frac{1}{x}+1（x＞0）$，則$h'（x）=\frac{{{e^x}（x-1）-{x^2}+1}}{x^2}$
令φ（x）=e^x（x-1）-x²+1（x＞0），則φ'（x）=x（e^x-2）
當x∈（0，ln2）時，φ'（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減；
當x∈（ln2，+∞）時，φ'（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增
又φ（0）=0，φ（1）=0，
∴當x∈（0，1）時，φ（x）＜0，即h'（x）＜0，∴h（x）單調(diào)遞減；
當x∈（0，+∞）時，φ（x）=（x-1）（e^x-x-1＞0，即h'（x）＞0，
∴h（x）單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（1）=e-1，
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，e-1]．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、實數(shù)的取值范圍、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造法等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．