Question

5．已知函數(shù)f（x）=lnx-a（a∈R）與函數(shù)F（x）=x+$\frac{2}{x}$的圖象沒有交點(diǎn)．
（1）求a的取值范圍；
（2）若不等式xf（x）+e＞2-a對于x＞0的一切值恒成立，求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論f（x）和F（x）的單調(diào)性，得到F（x）的最小值，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式，解出即可；
（2）將所要證明的式子變形，建立一個(gè)函數(shù)，求導(dǎo)后再建立一個(gè)新的函數(shù)，再求導(dǎo)．需要用到兩次求導(dǎo)．再來通過最值確定正負(fù)號，再來確實(shí)原函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：（1）由題意得：x＞0，而F（x）的最小值是F（$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$，
而f（x）=lnx-a在（0，+∞）遞增，
故只需f（$\sqrt{2}$）＜2$\sqrt{2}$即可，
即ln$\sqrt{2}$-a＜2$\sqrt{2}$，
解得：a＞ln$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$；
若函數(shù)f（x）=lnx-a（a∈R）與函數(shù)F（x）=x+$\frac{2}{x}$的圖象沒有交點(diǎn)，
（2）原式等價(jià)于xlnx+a+e-2-ax≥0在（0，+∞）上恒成立．
令g（x）=xlnx+a+e-2-ax．
∵g′（x）=lnx+1-a
令g′（x）=0，得x=e^a-1
①0＜x＜e^a-1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減
②e^a-1＜x時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增
∴g（x）的最小值為g（e^a-1）=（a-1）e^a-1+a+e-2-ae^a-1=a+e-2-e^a-1．
令t（x）=x+e-2-e^a-1．∵t′（x）=1-e^a-1．
令t′（x）=0．得x=1．且
③0＜x＜1時(shí)，t′（x）＞0，t（x）單調(diào)遞增
④1＜x時(shí)，t′（x）＜0，t（x）單調(diào)遞減
∴當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，g（x）的最小值t（a）＞t（0）=e-2-$\frac{1}{e}$=$\frac{e（e-2）-1}{e}$＞0．
當(dāng)a∈[1，+∞）時(shí)，g（x）的最小值為t（a）=a+e-2-e^a-1≥0=t（2）．
∴a∈[1，2]．
綜上得：a∈（0，2]．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)求導(dǎo)來尋找單調(diào)區(qū)間及最值．尤其是第二問需要對函數(shù)求導(dǎo)后再建立一個(gè)新的函數(shù)求導(dǎo)，這也是一個(gè)常見類型．