Question

7．設S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項和，若公差d≠0，a₅=10，且成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=$\frac{1}{{（{a_n}-1）（{a_n}+1）}}$，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求證：T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差數(shù)列的前n項和公式、等比數(shù)列性質，列出方程組，求出a₁=2，d=2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由${b_n}=\frac{1}{{（{a_n}-1）（{a_n}+1）}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用裂項求和法能證明T_n＜$\frac{1}{2}$．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項和，
公差d≠0，a₅=10，且成等比數(shù)列，
∴由題知：$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+4d=10\\{a_1}（{a_1}+3d）={（{a_1}+d）^2}\end{array}\right.$，
解得：a₁=2，d=2，
故數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2n．
證明：（Ⅱ）∵${b_n}=\frac{1}{{（{a_n}-1）（{a_n}+1）}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）＜\frac{1}{2}$．
∴T_n＜$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查等差數(shù)列的前n項和公式、能項公式、等比數(shù)列、裂項求和法等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，考查創(chuàng)新意識、應用意識，是中檔題．