Question

已知集合M={（x，y）|0≤y≤

4-x2

，且x+y-2≤0}，
（Ⅰ）在坐標(biāo)平面內(nèi)作出集合M所表示的平面區(qū)域；
（Ⅱ）若點(diǎn)P（x，y）∈M，求

y-3

3+x

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：對第（Ⅰ）問，將y≤

4-x2

的兩邊同時(shí)平方，并整理得x²+y²≤4，由y≥0知，得x²+y²≤4表示半圓及其內(nèi)部，結(jié)合x+y-2≤0，可得集合M所表示的平面區(qū)域；
對第（Ⅱ）問，設(shè)k=

y-3

x+3

，此式表示點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)（-3，3）連線的斜率，作出此斜率的臨界狀態(tài)，即可得到k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由y=

4-x2

，得x²+y²=4，其中0≤y≤2，
此式表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的上半部分及其內(nèi)部，
結(jié)合題意知，集合M應(yīng)滿足不等式組

x2+y2≤4，0≤y≤2 x+y-2≤0

，
從而得到表示M的平面區(qū)域，此區(qū)域由△AOB與

1

4

圓組成，如右圖所示的陰影部分．
（Ⅱ）令k=

y-3

x-(-3)

，則k表示動點(diǎn)P（x，y）與定點(diǎn)Q（-3，3）連線的斜率，
設(shè)斜率為k的直線為l，則當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)C（-2，0）即P與C重合時(shí)，k最小，且kmin=

0-3

-2+3

=-3；
當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)B（0，2）即P與B重合時(shí)，k最大，且kmax=

2-3

0+3

=-

1

3

，
從而-3≤k≤-

1

3

，即

y-3

3+x

的取值范圍是[-3，-

1

3

]．
故答案為：（I） 見右圖；（II） [-3，-

1

3

]．

點(diǎn)評：本題考查了線性規(guī)劃及其應(yīng)用，畫圖時(shí)應(yīng)充分挖掘已知條件中的不等關(guān)系，若不等式中含等于號，則邊界畫成實(shí)線，若不等式中不含等于號，則邊界畫成虛線；對于目標(biāo)函數(shù)的最值問題，一般先觀察其特征，再利用幾何意義進(jìn)行合理地轉(zhuǎn)化，注意數(shù)形結(jié)合思想及化歸思想的運(yùn)用．