Question

已知函數．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）設f（x）有兩個極值點x₁，x₂，若過兩點（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．

Answer 1

解：（1）f′（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1．
①當a≥1時，f′（x）≥0，
且僅當a=1，x=-1時，f′（x）=0，
所以f（x）是R上的增函數；
②當a＜1時，f′（x）=0，有兩個根，
x₁=-1-，x₂=-1+，
當x∈時，f′（x）＞0，f（x）是增函數．
當x∈時，f′（x）＜0，f（x）是減函數．
當x∈時，f′（x）＞0，f（x）是增函數．
（2）由題意x₁，x₂，是方程f′（x）=0的兩個根，
故有a＜1，，，
因此=
=
==，
同理．
因此直線l的方程為：y=．
設l與x軸的交點為（x₀，0）得x₀=，

=，
由題設知，點（x₀，0）在曲線y=f（x）上，故f（x₀）=0，
解得a=0，或a=或a=
分析：（1）先對函數進行求導，通過a的取值，求出函數的根，然后通過導函數的值的符號，推出函數的單調性．
（2）根據導函數的根，判斷a的范圍，進而解出直線l的方程，利用l與x軸的交點為（x₀，0），可解出a的值．
點評：本題主要考查函數在某點取得極值的條件，考查分類討論，函數與方程的思想，考查計算能力．